Triângulos
Tales, semelhança e Pitágoras — três resultados que se apoiam um no outro e resolvem metade da geometria que cai em prova.
Um resultado puxa o outro
Não são três assuntos soltos — é uma cadeia
Tales
Retas paralelas cortam transversais em segmentos proporcionais.
Semelhança
Daí vem que triângulos de mesma forma têm lados proporcionais.
Pitágoras
E daí sai a relação entre os lados do triângulo retângulo.
Vale a pena ver a cadeia inteira porque o meio dela — a semelhança — é o que faz o trabalho. Tales é a origem, Pitágoras é a consequência mais famosa, e as relações métricas do triângulo retângulo são só semelhança aplicada de novo.
Semelhante ≠ congruente
Semelhantes têm a mesma forma e tamanhos possivelmente diferentes. Congruentes são idênticos — semelhantes com k = 1. Toda figura congruente é semelhante; o contrário não.
Explore
Classifique um triângulo pelos lados, descubra a razão de semelhança ou complete uma proporção de Tales.
Escolha os três lados. Comparar o quadrado do maior com a soma dos outros dois diz o tipo do triângulo — Pitágoras é só o caso em que dá empate.
Tipo do triângulo
Retângulo
O maior lado ao quadrado é exatamente a soma dos outros dois ao quadrado. Há um ângulo de 90°, e o maior lado é a hipotenusa.
A comparação
maior² = 5² = 25
outros² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
25 = 25
Teorema de Tales
Paralelas repartem transversais na mesma proporção
Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas transversais, os segmentos que elas determinam numa transversal são proporcionais aos da outra.
a/b = c/x
segmento de cima está para o de baixo, numa transversal, assim como na outra
A aplicação mais cobrada é dentro de um triângulo: uma reta paralela a um lado corta os outros dois em partes proporcionais — e cria um triângulo semelhante ao original. É exatamente aqui que Tales vira semelhança.
A correspondência é tudo
O erro não é montar a proporção — é montá-la trocada. Segmento de cima com segmento de cima, de baixo com de baixo. Se você inverter só um lado da igualdade, a conta roda e o resultado sai errado sem aviso.
Onde isso aparece
Sombras
Um poste e uma pessoa ao sol formam triângulos semelhantes: a altura está para a sombra na mesma razão.
Mapas e maquetes
Escala é razão de semelhança. 1:100 quer dizer k = 1/100 nos comprimentos.
Divisão de terrenos
Repartir um lote em faixas paralelas divide a frente e o fundo proporcionalmente.
Fotografia
A imagem no sensor é semelhante à cena — é o que a distância focal controla.
Semelhança de triângulos
Três maneiras de garantir que a forma é a mesma
Ângulo–Ângulo
Dois ângulos iguais
Se dois ângulos batem, o terceiro bate junto — a soma é sempre 180°. É o caso mais usado, porque ângulo é o que sobra quando há retas paralelas.
Lado–Ângulo–Lado
Dois lados proporcionais e o ângulo entre eles igual
O ângulo precisa ser o formado pelos dois lados. Com outro ângulo qualquer, a garantia se perde.
Lado–Lado–Lado
Os três lados proporcionais
A mesma razão nos três pares de lados força a mesma forma. É o caso que o simulador acima usa.
A consequência que mais cai
lados × k
cada comprimento multiplica por k
perímetro × k
é uma soma de comprimentos
área × k²
multiplica duas medidas
Numa maquete 1:50, os comprimentos são 50 vezes menores, mas as áreas são 2.500 vezes menores. É a mesma razão pela qual 1 m² são 10.000 cm², e não 100.
Teorema de Pitágoras
E por que ele é verdade
a² = b² + c²
em todo triângulo retângulo, com a = hipotenusa
A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90° — e sempre o maior dos três. Os outros dois são os catetos.
De onde vem, por semelhança:
traço a altura sobre a hipotenusa
surgem 2 triângulos semelhantes ao original
b² = a · m e c² = a · n
somando: b² + c² = a·m + a·n = a·(m + n)
como m + n = a: b² + c² = a · a = a²
Repare que a demonstração não usa nada além de semelhança — é por isso que os três assuntos desta página vivem juntos. E é daqui que sai a trigonometria: como triângulos retângulos de mesmo ângulo são semelhantes, a razão entre dois lados só depende do ângulo — e é isso que seno, cosseno e tangente medem.
Ternos pitagóricos
Trios de inteiros que satisfazem a relação. Vale a pena reconhecer de cara — e todo múltiplo de um terno também é um terno.
3, 4, 5
6,8,10 · 9,12,15
5, 12, 13
10,24,26
8, 15, 17
16,30,34
7, 24, 25
14,48,50
Só vale no triângulo retângulo
Em 4, 5, 6 a conta dá 36 ≠ 16 + 25 — e não é erro, é que o triângulo não é retângulo. Use o simulador: comparar maior² com a soma dos outros dois classifica qualquer triângulo, e Pitágoras é o caso do empate.
Relações métricas no triângulo retângulo
Cinco fórmulas que saem da mesma semelhança — m e n são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa
Exemplos resolvidos
Um de cada assunto, mais o que mistura tudo
Pitágoras — a diagonal
Uma TV tem 80 cm de largura por 60 cm de altura. Qual a diagonal?
A diagonal é a hipotenusa: d² = 80² + 60²
d² = 6.400 + 3.600 = 10.000
d = √10.000
(repare: 60, 80, 100 é o terno 3,4,5 vezes 20)
Semelhança — a sombra do poste
Uma pessoa de 1,8 m faz sombra de 3 m. O poste ao lado faz sombra de 10 m. Qual a altura do poste?
Mesmo sol, mesmos ângulos → triângulos semelhantes (AA)
altura/sombra é a mesma razão nos dois
1,8/3 = h/10
h = 1,8 × 10 ÷ 3
Tales — o segmento que falta
Três paralelas cortam duas transversais. Na 1ª, os segmentos são 4 e 6. Na 2ª, o de cima é 6. Quanto vale o de baixo?
4/6 = 6/x
4x = 6 × 6 = 36
x = 36 ÷ 4
Semelhança — a área não dobra
Ampliei uma foto de 10×15 cm para 20×30 cm. A área ficou quantas vezes maior?
k = 20/10 = 2 (os lados dobraram)
Área original: 10 × 15 = 150 cm²
Área nova: 20 × 30 = 600 cm²
600 ÷ 150 = 4 = k²
Erros que todo mundo comete
Os quatro que mais custam pontos
⚠️ Usar Pitágoras sem ângulo reto
A relação só vale no triângulo retângulo. Sem os 90°, o correto é a lei dos cossenos — que tem um termo a mais.
⚠️ Errar quem é a hipotenusa
Não é “a de baixo” nem “a inclinada”: é a oposta ao ângulo reto, e sempre a maior. Ela fica sozinha de um lado da igualdade.
⚠️ Achar que a área multiplica por k
Lados e perímetro multiplicam por k; a área, por k². Dobrar os lados quadruplica a área.
⚠️ Trocar a correspondência
Em Tales e em semelhança, cada segmento tem o seu par. Inverter um lado da proporção dá uma conta que funciona e uma resposta errada.
Próximo passo
Geometria Espacial
As mesmas ideias em três dimensões — e Pitágoras volta, agora para achar a diagonal de um bloco.