Geometria Analítica
O encontro da geometria com a álgebra: pontos viram pares de números e formas viram equações no plano cartesiano.
Pontos são pares (x, y)
Dois eixos, duas coordenadas, uma posição exata
No plano cartesiano, cada ponto é localizado por um par ordenado (x, y): x diz o quanto andar na horizontal e y na vertical, a partir da origem (0, 0).
Com dois pontos A e B, três medidas aparecem direto das coordenadas:
A fórmula da distância é o Teorema de Pitágoras disfarçado — Δx e Δy são os catetos, e a distância é a hipotenusa.
A equação da reta
b é onde a reta corta o eixo y. E m, o coeficiente angular, mede quanto y sobe para cada 1 que x avança — é a razão Δy/Δx entre dois pontos da reta. Se m é positivo a reta sobe; se é negativo, desce; se é zero, fica horizontal. Quanto maior o módulo, mais íngreme. É a mesma função afim da álgebra, vista como lugar geométrico.
De dois pontos até a reta
m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) — depois use um ponto para achar b.
A circunferência tem outra lógica: todos os seus pontos estão à mesma distância r do centro. Escrever essa distância pela fórmula de Pitágoras dá (x−x₀)² + (y−y₀)² = r², onde (x₀, y₀) é o centro. É a própria definição de circunferência, traduzida em equação.
Mova os pontos
Ajuste A e B e veja distância, ponto médio e a reta se atualizarem
Distância AB
10.82
√(Δx²+Δy²)
Ponto médio
(0.50, 1)
média das coords
Reta
y = 0.67x + 0.67
coef. angular = 0.67
Repare
O ponto médio (laranja) fica sempre exatamente no meio do segmento AB.
Deixe A e B na mesma altura (mesmo y): o coeficiente angular vira 0 (reta horizontal).
Exemplos resolvidos
Tudo sai das coordenadas
Distância entre pontos
Qual a distância entre A(1, 2) e B(4, 6)?
d = √((4−1)² + (6−2)²)
d = √(3² + 4²) = √(9 + 16)
d = √25
Ponto médio
Qual o ponto médio de A(−2, 3) e B(6, 1)?
M = ((−2+6)/2, (3+1)/2)
M = (4/2, 4/2)
Coeficiente angular
Qual a inclinação da reta que passa por A(1, 2) e B(3, 8)?
m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
m = (8 − 2)/(3 − 1)
m = 6/2
m = 3 → y sobe 3 a cada 1 de x
Equação da reta por dois pontos
Ache a equação da reta por A(0, 1) e B(2, 5).
m = (5 − 1)/(2 − 0) = 4/2 = 2
b é o corte em y: em A, x = 0 dá y = 1, então b = 1
y = m·x + b
Erros que todo mundo comete
Pequenos deslizes de sinal e ordem
⚠️ Trocar x e y
O par é (x, y) — primeiro horizontal, depois vertical. Inverter leva o ponto para outro lugar.
⚠️ Sinal na subtração
Na distância, (x_B − x_A) com coordenadas negativas exige cuidado: −2 − 3 = −5, e (−5)² = 25.
⚠️ Somar em vez de mediar
O ponto médio é a média das coordenadas — some e divida por 2, não apenas some.
Próximo passo
Transformações
Mover, girar, espelhar e redimensionar figuras no plano.