Transformações Geométricas
Mover, girar, espelhar e redimensionar figuras. As regras por trás de animações, jogos e design gráfico.
Mover uma figura é mexer nas coordenadas
Toda transformação é uma regra que troca cada ponto (x, y) por outro
Transformar uma figura no plano é aplicar a mesma regra a cada um dos seus pontos. Como a figura é feita de pontos, e cada ponto é um par (x, y), basta dizer o que acontece com um ponto qualquer — e a figura inteira segue junto.
Há dois tipos. As isometrias (translação, rotação, reflexão) iso = igual, metria = medida — mantêm forma e tamanho: a figura só muda de lugar ou de orientação. A escala é a exceção: ela muda o tamanho, deixando a figura semelhante à original.
Translação
isometria(x, y) → (x + Δx, y + Δy)
Desliza a figura sem girar. Some Δx à primeira coordenada e Δy à segunda de todos os pontos — cada um anda a mesma distância na mesma direção.
Reflexão
isometriano eixo x: (x, y) → (x, −y)
Espelha em relação a um eixo. Refletir no eixo x troca o sinal de y, porque o ponto vai parar na altura oposta, à mesma distância do eixo. No eixo y, troca o sinal de x.
Rotação
isometria90° na origem: (x, y) → (−y, x)
Gira em torno de um ponto. Para 90° anti-horário na origem, o ponto (3, 1) vai para (−1, 3). Para 180°, ambos os sinais trocam: (x, y) → (−x, −y).
Escala
muda o tamanho(x, y) → (k·x, k·y)
Amplia ou reduz por um fator k. Multiplicar as coordenadas por k afasta cada ponto da origem k vezes mais. Com k > 1 amplia, com 0 < k < 1 reduz.
Por que a escala negativa vira a figura de cabeça para baixo
Com k = −1, o ponto (3, 2) vira (−3, −2) — ele salta para o lado oposto da origem, nas duas direções ao mesmo tempo. Isso é o mesmo efeito de uma rotação de 180°: por isso a figura aparece invertida, e não só redimensionada.
Transforme o triângulo
Escolha a transformação e ajuste os parâmetros — o cinza é o original
Regras de coordenadas
Translação: (x+Δx, y+Δy)
Reflexão eixo x: (x, −y)
Reflexão eixo y: (−x, y)
Rotação 90°: (x, y) → (−y, x)
Escala k: (k·x, k·y)
O gráfico ao lado aplica essas mesmas regras ao triângulo — cada vértice segue a fórmula.
Onde aparece
Jogos e animação
Personagens andam (translação), giram (rotação) e crescem (escala) usando essas transformações.
Design e simetria
Padrões, mosaicos e logos usam reflexões e rotações para criar simetria.
Mapas e imagens
Ampliar (zoom), rotacionar e mover mapas são transformações no plano.
Exemplos resolvidos
Aplicar a regra a cada vértice — nada além disso
Translação de um triângulo
Transladar A(1,1), B(4,1), C(1,3) por Δx = 2, Δy = −1.
Some (2, −1) a cada vértice
A(1,1) → (1+2, 1−1) = (3, 0)
B(4,1) → (6, 0)
C(1,3) → (3, 2)
Reflexão no eixo x
Refletir o ponto P(5, 3) no eixo x.
Reflexão no eixo x: (x, y) → (x, −y)
Só o y troca de sinal
P(5, 3) → (5, −3)
Rotação de 90°
Girar Q(2, 3) em 90° anti-horário em torno da origem.
Regra: (x, y) → (−y, x)
x = 2, y = 3
(−3, 2)
Escala (ampliação)
Ampliar o triângulo A(1,1), B(2,1), C(1,2) por fator k = 3.
Multiplique cada coordenada por 3
A(1,1) → (3, 3)
B(2,1) → (6, 3)
C(1,2) → (3, 6)
Erros que todo mundo comete
Detalhes que mudam o resultado
⚠️ A ordem importa
Rotacionar e depois transladar dá resultado diferente de transladar e depois rotacionar.
⚠️ Escala não é translação
A escala multiplica as coordenadas; a translação soma. Com |k| > 1 a figura afasta-se da origem, com |k| < 1 aproxima-se — mas a translação desloca tudo por igual, sem mudar o tamanho.
⚠️ Rotação depende do centro
Girar em torno da origem é diferente de girar em torno de outro ponto. O centro muda tudo.
🎉 Geometria completa!
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Plana, triângulos, espacial, analítica e transformações.