Função Inversa
A função que desfaz o que a outra fez. É o que torna o logaritmo a inversa da exponencial — e o que explica o espelho na reta y = x.
Desfazer o caminho
Uma função leva x até y; a inversa traz y de volta até x
Se f é uma máquina que transforma 3 em 7, a inversa f⁻¹ é a máquina que pega o 7 e devolve o 3.
3 → f → 7
7 → f⁻¹ → 3
f⁻¹(f(x)) = x, sempre
Essa é a definição inteira: a ida seguida da volta não sai do lugar. Tudo o mais é consequência.
⚠️ f⁻¹ não é 1/f
O −1 aqui não é expoente. Para f(x) = 2x, a inversa é x/2 — e não 1/(2x). São coisas completamente diferentes, e a notação é infeliz.
Mas há uma condição. Se duas entradas diferentes dão a mesma saída, a volta não sabe de qual delas veio — e a inversa não existe. É o que o simulador mostra com x².
Explore
Escolha a família, veja se ela é injetora, acompanhe a ida e a volta e repare no espelho na reta tracejada.
f(x) = 2x + 1
f⁻¹(x) = (x − 1) ÷ 2
Teste da reta horizontal
Injetora — tem inversa
Toda reta não horizontal é injetora: nenhuma reta horizontal a cruza duas vezes.
A ida e a volta
f(1) = 3
f⁻¹(3) = 1
Voltou ao ponto de partida: f⁻¹(f(1)) = 1 ✓
O ponto azul é (1, 3); o roxo é (3, 1) — as mesmas coordenadas trocadas de lugar, espelhadas na reta tracejada.
Como se acha a inversa
y = 2x + 1
troco x por y: x = 2y + 1
isolo y: y = (x − 1) ÷ 2
f
D = ℝ
Im = ℝ
f⁻¹
D = ℝ
Im = ℝ
O domínio de uma é a imagem da outra — trocar x por y troca também os conjuntos.
Quando a inversa existe
Uma condição só: nenhuma saída pode ter duas entradas
Teste da reta vertical
Diz se o gráfico é função: cada x pode ter só um y. Se uma vertical corta duas vezes, não é função.
Teste da reta horizontal
Diz se a função é injetora — e portanto se tem inversa. Se uma horizontal corta duas vezes, dois x diferentes dão o mesmo y, e a volta fica ambígua.
É o mesmo teste, girado 90°. E faz sentido: a inversa é o gráfico refletido, então o que era vertical vira horizontal.
O caso da parábola
f(x) = x²
f(2) = 4
f(−2) = 4
dois x, o mesmo y → não injetora
Perguntar “qual x tem quadrado 4?” tem duas respostas, e função não pode devolver duas. A saída é restringir o domínio: em x ≥ 0 a parábola só sobe, e aí a inversa existe — é a raiz quadrada.
f(x) = x², com x ≥ 0
f⁻¹(x) = √x
É por isso que √4 = 2 e não ±2: a raiz foi definida como a inversa do ramo positivo. O ± aparece ao resolver x² = 4, que é outra pergunta.
Como achar a inversa
Três passos, sempre os mesmos
Escreva y = f(x)
Troque o nome f(x) por y, só para facilitar.
Troque x por y e y por x
É aqui que a inversão acontece — entrada e saída trocam de papel.
Isole o y
Resolva para y. O que sobrar é f⁻¹(x).
Pares para reconhecer de cara
somar 5 desfaz-se subtraindo 5
multiplicar por 3 desfaz-se dividindo por 3
desfaz na ordem inversa: primeiro tira o 1, depois divide
o cubo é injetor em ℝ — diferente do quadrado
o logaritmo é, por definição, a inversa da exponencial
Por que o gráfico espelha em y = x
A explicação é mais simples do que parece
Se o ponto (3, 7) está no gráfico de f, então f(3) = 7. Logo f⁻¹(7) = 3, ou seja, o ponto (7, 3) está no gráfico de f⁻¹.
Trocar (a, b) por (b, a) é exatamente refletir na reta y = x. Como isso vale para todos os pontos, o gráfico inteiro é o reflexo.
Domínio e imagem trocam
Se x e y trocam de papel, os conjuntos trocam junto: D(f⁻¹) = Im(f) e Im(f⁻¹) = D(f). É o motivo de o logaritmo só aceitar x > 0 — a exponencial só produz valores positivos.
No simulador, a linha laranja tracejada liga cada ponto ao seu reflexo. Ela cruza a reta y = x em ângulo reto, porque reflexão é isso.
Exponencial e logaritmo
2³ = 8 → log₂(8) = 3
2⁰ = 1 → log₂(1) = 0
2⁻¹ = 0,5 → log₂(0,5) = −1
Cada linha da esquerda vira a da direita com os números trocados de posição. O logaritmo não é uma operação nova: é a pergunta “a que expoente elevei a base?”, que é literalmente desfazer a exponencial.
Ver a página da função logarítmica →Exemplos resolvidos
Sempre os mesmos três passos, mais a verificação
Função afim
Ache a inversa de f(x) = 3x − 6.
y = 3x − 6
troco: x = 3y − 6
x + 6 = 3y
y = (x + 6) ÷ 3
confiro: f(4) = 6 e f⁻¹(6) = 12 ÷ 3 = 4 ✓
Com fração
Ache a inversa de f(x) = (x + 2)/5.
y = (x + 2)/5
troco: x = (y + 2)/5
5x = y + 2
y = 5x − 2
confiro: f(3) = 1 e f⁻¹(1) = 5 − 2 = 3 ✓
Restringindo o domínio
f(x) = x² − 4 tem inversa? Em que condição?
Em ℝ não: f(3) = 5 e f(−3) = 5
Restrinjo a x ≥ 0, onde ela só cresce
y = x² − 4 → x = y² − 4 → y² = x + 4
y = √(x + 4), válida para x ≥ −4
Exponencial e logaritmo
Qual a inversa de f(x) = 5ˣ?
y = 5ˣ
troco: x = 5ʸ
isolar y é perguntar a que expoente elevei 5
y = log₅(x)
confiro: f(2) = 25 e log₅(25) = 2 ✓
Erros que todo mundo comete
Os quatro que mais custam pontos
⚠️ Confundir f⁻¹ com 1/f
O −1 não é expoente. A inversa de 2x é x/2, não 1/(2x).
⚠️ Inverter sem checar a injetividade
Nem toda função tem inversa. Antes de aplicar os três passos, veja se uma reta horizontal cortaria o gráfico duas vezes.
⚠️ Esquecer o novo domínio
O domínio da inversa é a imagemda original. A resposta fica incompleta sem ele — por isso se escreve “com x > 0”.
⚠️ Desfazer na ordem errada
Em 2x + 1, a ida multiplica e depois soma; a volta subtrai primeiro e depois divide. Como tirar meia e sapato: na ordem inversa.
Próximo passo
Função Logarítmica
A inversa da exponencial, agora com nome próprio — domínio, propriedades e aplicações.