Identidades Trigonométricas
Igualdades que valem para qualquer ângulo. Elas simplificam expressões e são a chave para resolver equações trigonométricas.
A identidade fundamental
A mais importante de todas — sai direto do círculo unitário
sen²θ + cos²θ = 1
No círculo unitário, o ponto (cos θ, sen θ) está a uma distância 1 da origem. Pelo Teorema de Pitágoras, os quadrados dos catetos somam o quadrado da hipotenusa — e a hipotenusa é o raio, que vale 1.
Dela derivam duas outras, dividindo tudo por cos²θ ou por sen²θ:
Relações básicas
tg θ = sen θ / cos θ
tangente é a razão entre seno e cosseno
cotg θ = cos θ / sen θ
o inverso da tangente
sec θ = 1 / cos θ
secante
cossec θ = 1 / sen θ
cossecante
Soma de arcos e arco duplo
Para que servem, de onde vêm e como usar
O seno de uma soma não é a soma dos senos: sen(a + b) ≠ sen a + sen b. Teste com 30° e 60°: sen 90° = 1, mas sen 30° + sen 60° = 0,5 + 0,87 = 1,37. As fórmulas abaixo dizem qual é o valor certo — elas servem para quebrar um ângulo desconhecido numa soma de ângulos que você conhece.
sen(a + b) = sen a·cos b + cos a·sen b
seno da soma
sen(a − b) = sen a·cos b − cos a·sen b
seno da diferença
cos(a + b) = cos a·cos b − sen a·sen b
cosseno da soma
cos(a − b) = cos a·cos b + sen a·sen b
cosseno da diferença
sen(2a) = 2·sen a·cos a
seno do arco duplo
cos(2a) = cos²a − sen²a
cosseno do arco duplo
Repare no sinal trocado: no cosseno da soma o sinal é −; no seno da soma é +.
O arco duplo é um caso da soma
Você não precisa decorar as duas últimas: elas saem das primeiras fazendo b = a. Somar um ângulo com ele mesmo é dobrá-lo.
sen(2a) = sen(a + a)
= sen a·cos a + cos a·sen a
= 2·sen a·cos a
Usando na prática: sen 75°
75° não é um ângulo notável, mas 45° + 30° são. Quebro e aplico a fórmula da soma:
sen 75° = sen(45° + 30°)
= sen45·cos30 + cos45·sen30
= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)
= (√6 + √2)/4 ≈ 0,966
Simetrias e reduções
Como o sinal muda com ângulos negativos ou complementares
sen(−θ) = −sen θ
seno é ímpar
cos(−θ) = cos θ
cosseno é par
sen(90°−θ) = cos θ
ângulos complementares
cos(90°−θ) = sen θ
por isso 'co'-sseno
Redução ao 1º quadrante
Todo ângulo entre 0° e 360° tem um “irmão” no 1º quadrante com o mesmo valor absoluto de seno e cosseno. Só o sinal muda, e quem decide o sinal é o quadrante. Assim você nunca precisa decorar mais que a tabela de 0° a 90°.
| Quadrante | Escreva como | sen | cos |
|---|---|---|---|
| 2º (90°–180°) | 180° − θ | sen(180°−θ) = +sen θ | cos(180°−θ) = −cos θ |
| 3º (180°–270°) | 180° + θ | sen(180°+θ) = −sen θ | cos(180°+θ) = −cos θ |
| 4º (270°–360°) | 360° − θ | sen(360°−θ) = −sen θ | cos(360°−θ) = +cos θ |
Na prática: quanto vale sen 150°?
150° está no 2º quadrante → escrevo 150° = 180° − 30°
sen(180° − 30°) = +sen 30° (seno é positivo no 2º quadrante)
sen 150° = 1/2
E cos 150° = −cos 30° = −√3/2, porque o cosseno é negativo no 2º quadrante. O valor você já sabia; a redução só disse qual sinal usar.
Usando as identidades
O padrão: substituir uma expressão por outra equivalente
Achar o cosseno pelo seno
Se sen θ = 3/5 e θ está no 1º quadrante, quanto vale cos θ?
sen²θ + cos²θ = 1
(3/5)² + cos²θ = 1
cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25
cos θ = 4/5 (positivo no 1º quadrante)
Simplificar uma expressão
Simplifique sen²x + cos²x + tg²x.
sen²x + cos²x = 1
= 1 + tg²x
e 1 + tg²x = sec²x
Erros que todo mundo comete
As confusões clássicas com identidades
⚠️ sen²θ não é sen(θ²)
sen²θ significa (sen θ)² — eleva o resultado ao quadrado, não o ângulo.
⚠️ Esquecer o sinal do quadrante
Ao tirar a raiz de cos²θ, o resultado pode ser + ou −. O quadrante decide qual.
⚠️ Distribuir errado
sen(a+b) ≠ sen a + sen b. É preciso usar a fórmula da soma de arcos.
Próximo passo
Lei dos Senos e Cossenos
Resolver triângulos quaisquer — não só os retângulos.