Lei dos Senos e Cossenos
SOH-CAH-TOA só serve para triângulos retângulos. Estas duas leis resolvem qualquer triângulo.
As duas leis
Convenção: lado a é oposto ao ângulo A, e assim por diante
Lei dos Senos
Cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto dá sempre o mesmo valor — e esse valor tem nome: é 2R, o diâmetro da circunferência que passa pelos três vértices do triângulo. Relaciona um lado com o ângulo à sua frente.
Lei dos Cossenos
Uma generalização de Pitágoras. Quando A = 90°, cos A = 0 e ela vira a² = b² + c².
Qual lei usar?
Depende do que o problema te dá
Use a Lei dos Senos quando tiver…
- Um lado e o ângulo oposto a ele, mais um outro dado.
- Dois ângulos e um lado (o 3º ângulo sai por 180°).
Padrão: sempre um par lado–ângulo oposto completo.
Use a Lei dos Cossenos quando tiver…
- Dois lados e o ângulo entre eles (acha o 3º lado).
- Os três lados (acha qualquer ângulo).
Padrão: quando não há par lado–ângulo oposto pronto.
Exemplos resolvidos
Uma de cada lei
Lei dos Senos
Num triângulo, A = 40°, B = 60° e o lado a = 10. Quanto vale o lado b?
a/sen A = b/sen B
10/sen 40° = b/sen 60°
b = 10 · sen 60° / sen 40°
b = 10 · 0,866 / 0,643
Lei dos Cossenos
Dois lados medem 8 e 5, com ângulo de 60° entre eles. Qual o terceiro lado?
a² = 8² + 5² − 2·8·5·cos 60°
a² = 64 + 25 − 80·0,5
a² = 89 − 40 = 49
a = √49
Onde aparece
Navegação
Calcular distâncias e rotas entre pontos a partir de ângulos e trechos conhecidos.
Topografia
Medir terrenos irregulares triangulando ângulos e lados acessíveis.
Triangulação
GPS e antenas localizam um ponto cruzando distâncias e ângulos de várias estações.
Erros que todo mundo comete
Cuidados ao resolver triângulos quaisquer
⚠️ Parear lado e ângulo errados
Na Lei dos Senos, o lado tem que ser o oposto ao ângulo usado. a vai com A, b com B.
⚠️ Ângulo que não é o entre-lados
Na Lei dos Cossenos, o ângulo A precisa estar entre os lados b e c. Usar outro ângulo dá errado.
⚠️ Esquecer a raiz no fim
A Lei dos Cossenos dá a². Não esqueça de tirar a raiz para achar o lado a.
🎉 Trigonometria completa!
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Razões, círculo unitário, funções, identidades e as leis dos senos e cossenos.