Funções Trigonométricas
Quando o ângulo gira sem parar, sen e cos desenham ondas. É a matemática de tudo que se repete: som, luz, marés e corrente elétrica.
Do círculo à onda
A altura do ponto girando, registrada no tempo
Imagine o ponto girando no círculo unitário. Se você anota a altura (o seno) a cada instante, obtém uma curva que sobe e desce suavemente: a senoide.
Como o giro se repete a cada volta, a função também se repete. Esse comprimento de repetição é o período. Para sen(x) e cos(x), o período é 2π.
Os quatro controles de uma senoide
f(x) = A·sen(Bx + C) + D
Amplitude (A)
A altura da onda. Em A·sen(x), a curva vai de −A a A.
Frequência angular (B)
Quantas ondas cabem no mesmo espaço. Período = 2π/|B|. (A frequência propriamente dita é B/2π.)
Fase (C)
Desloca a onda para os lados. Atenção: o deslocamento é −C/B, não −C.
Deslocamento vertical (D)
Sobe ou desce a onda inteira. A curva passa a oscilar em torno de y = D, com imagem [D−A, D+A].
Molde a onda
Ajuste amplitude, frequência e fase e veja a senoide responder
f(x) = 1 · sen(1x + 0) + 0
Amplitude
1 (oscila 0 ± 1)
Período
2π/|1| ≈ 6.28
Desloc. horizontal
−C/B = 0
Imagem
[-1, 1]
Experimente
Aumente B: mais ondas no mesmo trecho (período menor).
Aumente A: a onda fica mais alta.
Compare sen e cos: mesma forma, deslocadas.
Propriedades das senoides
O que sen e cos têm em comum (e a tangente não)
Periódicas
Repetem-se a cada 2π. sen(x + 2π) = sen(x).
Limitadas
sen e cos ficam sempre entre −1 e 1. A imagem é [−1, 1].
Tangente é diferente
tg(x) = sen/cos tem período π e explode (vai a ±∞) onde cos = 0.
Ondas no mundo real
Som
Um som puro é uma senoide. A frequência define a nota; a amplitude, o volume.
Corrente elétrica
A energia da tomada é alternada — uma onda senoidal a 60 Hz.
Marés e ondas
O nível do mar sobe e desce de forma aproximadamente senoidal ao longo do dia.
Luz e rádio
Ondas eletromagnéticas — de rádio a luz visível — são descritas por senoides.
Próximo passo
Identidades Trigonométricas
As relações que conectam sen, cos e tg — a começar por sen² + cos² = 1.