Probabilidade condicional
Como uma informação nova muda a chance de um evento. É daqui que sai a independência — e é aqui que mora o erro mais comum de todos.
Condicionar é restringir o espaço
Saber algo joga fora os casos que não valem mais
A probabilidade de sair um número maior que 4 num dado é 2/6. Mas se alguém te conta que o resultado foi par, a pergunta muda: agora só existem 2, 4 e 6, e desses só o 6 serve — 1/3.
A informação “deu par” não mudou o dado; mudou o espaço de possibilidades. Isso é a probabilidade condicional, escrita P(A | B) — “a probabilidade de A, dado queB ocorreu”.
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
A barra | lê-se “dado que”. O que ela faz é trocar o denominador: em vez de dividir pelo total, você divide só por B— o novo “tudo”.
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Mexa nas quatro caixas e acompanhe como P(passou) muda quando você condiciona a estudou.
Uma turma de 40 alunos, separada por estudar (linhas) e passar (colunas). Mexa nas quatro caixas e veja como condicionar muda a probabilidade.
passou
não passou
total
estudou
estudou e passou
18
estudou, não passou
6
24
não estudou
não estudou, passou
4
não estudou nem passou
12
16
total
22
18
40
Sem condição — turma inteira
P(passou)
55,0%
22/40 = 11/20
Condicionado — só quem estudou
P(passou | estudou)
75,0%
18/24 = 3/4
Condicionar a estudou é jogar fora a linha de baixo: o denominador deixa de ser 40 (a turma toda) e passa a ser 24 (só quem estudou). Esse é o significado da barra |.
A mesma conta pela fórmula
P(passou | estudou) = P(passou ∩ estudou) ÷ P(estudou)
= (18/40) ÷ (24/40) = 18/24 = 75,0%
Os totais 40 se cancelam — por isso dá no mesmo contar direto na linha.
Estudar e passar são independentes?
Dependentes
P(passou | estudou) = 75,0%, mas P(passou) = 55,0%. Como os dois diferem, saber que estudou muda a chance — os eventos se influenciam.
P(A | B) não é P(B | A)
P(passou | estudou)
75,0%
dos que estudaram, quantos passaram
P(estudou | passou)
81,8%
dos que passaram, quantos tinham estudado
São perguntas diferentes, com denominadores diferentes (24 contra 22). Trocar uma pela outra é o erro que está por trás de quase todo raciocínio errado com probabilidade.
Independência é um caso particular
Não uma regra à parte — uma consequência da condicional
Dois eventos são independentes quando saber de um não muda a chance do outro:
P(A | B) = P(A)
condicionar não muda nada
De onde vem a fórmula famosa. Se P(A | B) = P(A), então na definição P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) substituímos e reorganizamos:
P(A) = P(A ∩ B) / P(B)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Ou seja: multiplicar as probabilidades só vale quando os eventos são independentes. A regra que você já usava é um caso especial da condicional.
Independente × mutuamente exclusivo
Não confunda os dois — são quase opostos.
Independentes
um não afeta o outro. P(A ∩ B) = P(A)·P(B), normalmente diferente de zero.
Mutuamente exclusivos
não podem ocorrer juntos. P(A ∩ B) = 0. Saber que A ocorreu garante que B não ocorreu — dependência total.
Se A e B são exclusivos e ambos possíveis, eles são o oposto de independentes: um exclui o outro.
P(A | B) não é P(B | A)
A confusão mais cara da probabilidade
“A chance de um doente dar positivo no teste” e “a chance de quem deu positivo estar doente” parecem a mesma frase. Não são. Têm denominadores diferentes.
Um teste que acerta 99% dos doentes pode, ainda assim, deixar a maioria dos positivos saudáveis — se a doença for rara. É a taxa base agindo: há tão mais gente saudável que mesmo poucos falsos positivos superam os verdadeiros.
Um teste para doença rara
1 em 100 pessoas tem a doença. O teste acerta 99% dos casos e dá 5% de falso positivo. Numa cidade de 10.000:
100 doentes → 99 positivos
9.900 saudáveis → 495 falsos positivos
positivos no total: 99 + 495 = 594
P(doente | positivo) = 99/594 ≈ 17%
O teste “acerta 99%”, mas quem deu positivo tem só 17% de chance de estar doente. As duas condicionais são mundos diferentes.
A regra da multiplicação
Reorganizando a fórmula, sai o cálculo de “A e depois B”
Isolando a interseção na definição, temos a regra da multiplicação:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A)
A chance de dois eventos em sequência é a do primeiro vezes a do segundo dado o primeiro. Quando há retirada sem reposição, o segundo fator muda — é aí que a condicional entra.
Duas bolas, sem reposição
Uma urna com 5 vermelhas e 3 azuis. Tiro duas, sem devolver. Qual a chance de as duas serem vermelhas?
P(1ª vermelha) = 5/8
P(2ª vermelha | 1ª vermelha) = 4/7
← sobraram 4 vermelhas em 7 bolas
P(2 vermelhas) = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14
Com reposição seria 5/8 × 5/8. A diferença é exatamente a condicional.
Exemplos resolvidos
Condicional, independência e retirada sem reposição
Dado — condicional direta
Jogei um dado e saiu par. Qual a chance de ter sido o 6?
Dado par: espaço reduz a {2, 4, 6}
Favorável: só o 6
P(6 | par) = 1/3
Cartas — sem reposição
De um baralho de 52, tiro 2 cartas. Chance de as duas serem ás?
P(1º ás) = 4/52
P(2º ás | 1º ás) = 3/51
P(2 ases) = 4/52 × 3/51 = 12/2652
Verificando independência
P(A) = 0,5, P(B) = 0,4, P(A ∩ B) = 0,2. São independentes?
Testo: P(A) × P(B) = 0,5 × 0,4 = 0,2
P(A ∩ B) dado = 0,2
Como batem, P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Tabela de dupla entrada
Numa turma, 20 estudaram e 15 desses passaram. Chance de passar dado que estudou?
Condiciono à linha 'estudou': 20 alunos
Desses, 15 passaram
P(passou | estudou) = 15/20
Erros que todo mundo comete
Os quatro que mais custam pontos
⚠️ Trocar P(A|B) por P(B|A)
“Doente dá positivo” ≠ “positivo está doente”. Denominadores diferentes, respostas diferentes. É a falácia da taxa base.
⚠️ Multiplicar sem independência
P(A ∩ B) = P(A)·P(B) só vale se forem independentes. Sem reposição, use P(A)·P(B | A).
⚠️ Confundir independente com exclusivo
Eventos exclusivos não são independentes: se um ocorre, o outro é impossível — a dependência é máxima.
⚠️ Esquecer de trocar o denominador
Ao condicionar, o total muda. P(A | B) divide por B, não pelo espaço inteiro.
De volta a
Probabilidade
A base de tudo: espaço amostral, união, complementar e eventos independentes.