Teoria dos Conjuntos
Agrupar elementos e combinar grupos. A linguagem que organiza toda a matemática — de números a probabilidade.
O que é um conjunto?
Uma coleção de elementos, sem repetição e sem ordem
Um conjunto é uma coleção de objetos, chamados elementos. Escrevemos entre chaves: A = {1, 2, 3}. Não importa a ordem e não há repetição.
Duas formas de descrever
Por enumeração
P = {2, 4, 6, 8, 10}
lista os elementos
Por propriedade
P = {x | x é par, 0 < x ≤ 10}
lê-se “x tal que x é par…”
Operações no diagrama de Venn
Escolha a operação e veja a região destacada e o resultado
A ∪ B (x ∈ A ou x ∈ B)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
As operações
∪ União: tudo que está em A ou em B.
∩ Interseção: só o que está em A e em B.
A − B: o que está em A mas não em B.
Os conjuntos numéricos
Os grupos de números que você já conhece são conjuntos
ℕ
Naturais
0, 1, 2, 3…
ℤ
Inteiros
…−1, 0, 1…
ℚ
Racionais
frações
𝕀
Irracionais
π, √2
ℝ
Reais
todos
E valem as mesmas operações: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ (cada um contido no seguinte).
Repare que os irracionais (𝕀) ficam de fora dessa cadeia — eles não contêm nem estão contidos nos racionais. A relação entre os dois é de união e interseção: ℚ ∪ 𝕀 = ℝ (juntos formam todos os reais) e ℚ ∩ 𝕀 = ∅ (nenhum número é racional e irracional ao mesmo tempo). É o primeiro uso concreto das duas operações que você acabou de explorar.
Erros que todo mundo comete
Confusões clássicas com conjuntos
⚠️ ∈ × ⊂
∈ liga elemento a conjunto; ⊂ liga conjunto a conjunto. 3 ∈ A, mas {3} ⊂ A.
⚠️ União não é soma
Na união, elementos repetidos entram uma vez só. {1,2}∪{2,3} = {1,2,3}, não {1,2,2,3}.
⚠️ Contar a interseção duas vezes
No total, |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Subtrair a interseção evita contar em dobro.
Próximo passo
Lógica Proposicional
Proposições, conectivos e a tabela-verdade.