Lógica Proposicional

Como combinar afirmações e decidir se o resultado é verdadeiro ou falso — o alicerce da matemática e da programação.

O que é uma proposição?

Uma frase que é verdadeira ou falsa — sem meio-termo

Uma proposição é uma frase declarativa que pode ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F) — nunca as duas.

É proposição: “7 é primo”, “Brasília é a capital do Brasil”

Não é: “Que horas são?”, “Feche a porta” (pergunta/ordem)

Proposições simples (p, q, r) se combinam com conectivos para formar proposições compostas. O valor lógico do todo depende das partes.

Os conectivos

¬negaçãonão p — inverte o valor

∧conjunçãop e q — só é V quando as duas partes são V

∨disjunçãop ou q — só é F quando as duas são F (ou inclusivo)

→condicionalse p, então q — só é F quando p é V e q é F

↔bicondicionalp se e somente se q — V quando p e q têm o mesmo valor

Escolha um conectivo e veja o valor lógico em todas as combinações

p ∧ q — Verdadeira só quando as duas são verdadeiras.

V = Verdadeiro · F = Falso. A última coluna mostra o valor lógico da proposição composta.

A condicional p → q só é falsa quando p é verdadeira e q é falsa.

Se p já é falsa, a condicional é verdadeira (“promessa vazia” — não foi quebrada).

Proposições que já nascem decididas

Tautologia

Sempre verdadeira, dê o valor que der às partes. Ex.: p ∨ ¬p.

Contradição

Sempre falsa. Ex.: p ∧ ¬p (algo e seu contrário).

Contingência

Depende dos valores — o caso mais comum, como p → q.

Pegadinhas da lógica

⚠️ O “ou” inclusivo

Na lógica, p ∨ q é verdadeiro também quando os dois são. Não é o “ou… ou” exclusivo do dia a dia.

⚠️ Negar errado

A negação de p ∧ q é ¬p ∨ ¬q (De Morgan), não ¬p ∧ ¬q.

⚠️ Inverter a condicional

p → q não é o mesmo que q → p. “Se chove, molha” não vira “se molha, chove”.

Próximo passo

“Para todo” e “existe” — a lógica aplicada a coleções.