Combinatória
A arte de contar sem contar um por um. Quantas senhas, quantos jogos, quantas comissões — tudo em uma conta.
O princípio multiplicativo
A ideia da qual tudo o resto deriva
Se uma decisão pode ser tomada de m formas e, em seguida, outra de n formas, então o total de possibilidades é m × n.
Desse princípio nasce o fatorial n!, que multiplica todos os inteiros de 1 a n:
As três ferramentas
Permutação — P(n)
Ordenar todos os n elementos. P(n) = n!
Arranjo — A(n,p)
Escolher p de n com ordem. n!/(n−p)!
Combinação — C(n,p)
Escolher p de n sem ordem. n!/(p!(n−p)!)
Por que o p! a mais na combinação? Porque o arranjo conta o mesmo grupo várias vezes, uma para cada ordem possível dos p elementos — e existem p! ordens. A combinação divide o arranjo por esse p! para contar cada grupo só uma vez.
Calculadora
Ajuste n e p e compare permutação, arranjo e combinação
Permutação — P(5)
120
Ordena todos os 5 elementos. P(n) = n! = 5!
Arranjo — A(5, 3)
60
Escolhe 3 de 5 importando a ordem. A = n!/(n−p)!
Combinação — C(5, 3)
10
Escolhe 3 de 5 sem importar a ordem. C = n!/(p!(n−p)!)
Ordem importa?
Senha, pódio, ranking → a ordem conta → arranjo.
Comissão, sorteio, salada → a ordem não conta → combinação.
Repare: o arranjo é sempre ≥ a combinação (p! vezes maior).
Exemplos resolvidos
O truque é sempre a mesma pergunta: a ordem importa?
Arranjo — pódio
Em uma corrida com 8 atletas, de quantas formas pode ser o pódio (1º, 2º e 3º)?
A ordem importa (ouro ≠ prata)
A(8,3) = 8! / (8−3)! = 8!/5!
= 8 × 7 × 6
Combinação — comissão
De 10 pessoas, quantas comissões de 3 podem ser formadas?
A ordem não importa (comissão é grupo)
C(10,3) = 10! / (3!·7!)
= (10×9×8) / (3×2×1)
Permutação — fila
De quantas formas 5 pessoas podem formar uma fila?
Ordenar todos os 5
P(5) = 5!
= 5 × 4 × 3 × 2 × 1
Princípio multiplicativo — senha
Quantas senhas de 3 dígitos existem (0 a 9, podendo repetir)?
Cada posição: 10 opções
10 × 10 × 10
Erros que todo mundo comete
Onde a contagem sai do controle
⚠️ Arranjo × combinação
Usar arranjo quando a ordem não importa infla o resultado. Pergunte sempre se trocar a ordem gera um caso novo.
⚠️ Repetição permitida ou não
Senha permite repetir dígito; sorteio de nomes não. Isso muda toda a conta.
⚠️ 0! = 1
Por convenção, 0! = 1 (não 0). Sem isso, as fórmulas de C e A quebram.
Próximo passo
Probabilidade
Contar os casos favoráveis e dividir pelos possíveis.