Números e Operações
O ponto de partida de tudo. Que tipos de números existem, como eles se organizam e as quatro operações que os conectam.
Os conjuntos numéricos
Cada família nasce de um problema que a anterior não resolvia
Os números não surgiram todos de uma vez. Cada conjunto foi inventado quando o anterior não dava conta de uma conta nova.
Naturais · Contar
Para contar coisas, bastam 0, 1, 2, 3…
0, 1, 2, 3, 42
Há livros que começam o ℕ no 1; nesta página o 0 entra.
Inteiros · Dever
Quanto é 3 − 5? Contando não dá. Dívidas e o que está abaixo de zero pedem os negativos.
…−2, −1, 0, 1, 2…
Racionais · Repartir
3 pizzas para 4 pessoas? Inteiros não fecham. Entram as frações a/b (b ≠ 0): decimais exatos e dízimas periódicas.
1/2, 0,75, −3, 0,333…
Irracionais · Medir
A diagonal de um quadrado de lado 1 mede √2 — e isso não vira fração. Decimais infinitos sem padrão. Não “engolem” os racionais: ficam do lado de fora.
π, √2, e
Reais · Preencher a reta
A união ℚ ∪ 𝕀: contém os racionais e acrescenta os irracionais. Todo ponto da reta fica coberto, sem buracos.
todos os acima
A pilha é ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ: cada um contém o anterior. Os irracionais não entram nessa pilha — ℚ e 𝕀 são disjuntos. Juntos eles formam os reais.
Como se encaixam
ℝ — Reais
ℚ — Racionais
ℤ — Inteiros
ℕ
𝕀
Irracionais
Todo natural é inteiro, todo inteiro é racional, e racionais + irracionais formam os reais.
As quatro operações
O que cada uma significa — e o nome de cada termo
Adição
Juntar quantidades numa só.
7
parcela
+
5
parcela
=
12
soma
Subtração
Tirar — ou medir a diferença.
9
minuendo
−
4
subtraendo
=
5
diferença
Multiplicação
Somar repetido: 6 + 6 + 6.
6
fator
×
3
fator
=
18
produto
Divisão
Repartir — ou quantos cabem.
20
dividendo
÷
4
divisor
=
5
quociente
A divisão nem sempre é exata: o resto
Em 17 ÷ 5, o 5 cabe 3 vezes e sobram 2. Sempre vale dividendo = divisor × quociente + resto — aqui, 17 = 5 × 3 + 2. Resto 0 = divisão exata. Esse resto é o que sustenta divisibilidade, MMC, MDC e a ideia de par e ímpar.
grupo de 5
grupo de 5
grupo de 5
resto 2
Reta numérica e regra dos sinais
Mova os números e veja como o sinal muda cada operação
Na soma e na subtração, imagine andar na reta: + para a direita, − para a esquerda. Somar um negativo também anda para a esquerda; subtrair um negativo é o contrário — anda para a direita. Já na multiplicação e na divisão, a regra está no próprio simulador: sinais iguais dão positivo, diferentes dão negativo.
(6) + (-4) =
2
(6) − (-4) =
10
(6) × (-4) =
-24
(6) ÷ (-4) =
-1.50
Regra dos sinais (× e ÷)
sinais diferentes → resultado −
Por que (−) × (−) = +?
Não é regra arbitrária — siga o padrão, diminuindo o primeiro fator de 1 em 1:
3 × (−2) = −6
2 × (−2) = −4
1 × (−2) = −2
0 × (−2) = 0
−1 × (−2) = +2
A cada linha o resultado sobe 2. Para o padrão continuar, multiplicar dois negativos tem que dar positivo.
Propriedades das operações
Atalhos que facilitam qualquer conta
| Propriedade | Vale para | Regra | Exemplo |
|---|---|---|---|
| Comutativa | + | a + b = b + a | 3 + 5 = 5 + 3 |
| Comutativa | × | a × b = b × a | 4 × 7 = 7 × 4 |
| Associativa | + | (a + b) + c = a + (b + c) | (2+3)+4 = 2+(3+4) |
| Associativa | × | (a × b) × c = a × (b × c) | (2×3)×4 = 2×(3×4) |
| Distributiva | × sobre + | a × (b + c) = a·b + a·c | 2×(10+3) = 20+6 |
| Neutro | + | a + 0 = a | 17 + 0 = 17 |
| Neutro | × | a × 1 = a | 17 × 1 = 17 |
| Absorvente | × | a × 0 = 0 | 99 × 0 = 0 |
A distributiva é a conta de cabeça: para fazer 12 × 13, quebre o 13 em 10 + 3 e distribua — 12×10 + 12×3 = 120 + 36 = 156. Subtração e divisão não são comutativas nem associativas: 8 − 3 ≠ 3 − 8, e (8 − 3) − 2 ≠ 8 − (3 − 2).
A ordem das operações
Qual conta fazer primeiro? A ordem importa muito
- 1.Parênteses — ( ) → [ ] → { } de dentro para fora
- 2.Potências e raízes — expoentes e radicais
- 3.Multiplicação e divisão — da esquerda para a direita
- 4.Adição e subtração — da esquerda para a direita
Exemplo: 2 + 3 × (4 + 1)²
= 2 + 3 × (5)² parênteses
= 2 + 3 × 25 potência
= 2 + 75 multiplicação
= 77 soma
Se você somasse 2 + 3 primeiro, chegaria a 125 — resposta errada.
Erros que todo mundo comete
As confusões mais frequentes com números e operações
Ignorar a ordem
✗2 + 3 × 5 = 25
✓2 + 3 × 5 = 17
Multiplicação vem antes da soma. 2 + 15 = 17, não (2+3)×5.
Menos com menos
✗−3 + (−5) = +8
✓−3 + (−5) = −8
Na soma, dois negativos somam mais negativo. O (+) é só no produto: (−)×(−)=+.
Dividir por zero
✗5 ÷ 0 = 0
✓5 ÷ 0 é indefinido
Dividir por 0 não existe. Já 0 ÷ 5 = 0. E 0 ÷ 0 também é indefinido.
Próximo passo
Frações
Repartir com precisão: simplificar, comparar e operar racionais.