MMC e MDC
Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum. As ferramentas para somar frações, resolver problemas de repetição e dividir em partes iguais.
Antes de tudo: múltiplos e divisores
Dois conceitos opostos que você precisa distinguir
✖️ Múltiplos
São o resultado de multiplicar o número por 1, 2, 3, 4… A lista é infinita.
M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24…
M(6) = 0, 6, 12, 18, 24, 30…
➗ Divisores
São os números que dividem o valor sem deixar resto. A lista é finita.
D(12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12
D(18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18
O que são MMC e MDC?
Um olha para múltiplos, o outro para divisores
MMC — Mínimo Múltiplo Comum
O menor múltiplo comum diferente de zero — o zero é múltiplo de todo mundo, então seria sempre ele. Serve para juntar ciclos ou somar frações.
Múltiplos de 4: 4, 8, 12…
Múltiplos de 6: 6, 12…
MMC(4, 6) = 12
MDC — Máximo Divisor Comum
O maior número que divide ambos sem deixar resto. Serve para dividir em partes iguais e simplificar frações.
Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
MDC(12, 18) = 6
Calculadora com fatoração
Digite dois números e veja a fatoração, o MDC e o MMC na hora
12 fatorado
12 = 2² × 3
18 fatorado
18 = 2 × 3²
MDC
6
máximo divisor comum
MMC
36
mínimo múltiplo comum
Relação de ouro
MDC × MMC = 6 × 36 = 216 = 12 × 18
O produto do MDC pelo MMC é sempre igual ao produto dos dois números.
Pela fatoração em primos
MDC: multiplique os fatores comuns, cada um com o menor expoente.
MMC: multiplique todos os fatores, cada um com o maior expoente.
Como calcular na mão
O método da decomposição simultânea
Fatoração de cada número
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
MDC = fatores comuns, menor expoente = 2¹ × 3¹ = 6
MMC = todos os fatores, maior expoente = 2² × 3² = 36
Decomposição simultânea (para o MMC)
Escreva os dois números lado a lado. Divida ambos pelo menor primo que couber; o número que não for divisível apenas desce repetido. Continue até chegar em 1, 1. O MMC é o produto de todos os primos da coluna da direita — porque juntos eles contêm os fatores necessários para os dois números ao mesmo tempo.
| 12, 18 | 2 |
| 6, 9 | 2 |
| 3, 9 | 3 |
| 1, 3 | 3 |
| 1, 1 | — |
MMC = 2 × 2 × 3 × 3 = 36
Quando usar cada um
O segredo é identificar se o problema pede juntar ou repartir
MMC — problema de encontro
Dois ônibus saem juntos. Um passa a cada 12 min, o outro a cada 18 min. Em quanto tempo saem juntos de novo?
Pede o próximo múltiplo comum → MMC
12 = 2²×3 · 18 = 2×3²
MMC = 2²×3² = 36
MDC — repartir em partes iguais
Você tem 12 balas e 18 chicletes para montar sacolinhas iguais, sem sobrar nada. Qual o maior nº de sacolinhas?
Pede a maior divisão comum → MDC
D(12) e D(18) → maior comum
MDC(12, 18) = 6
MMC — somar frações
Some 1/12 + 1/18. Qual o denominador comum ideal?
O menor denominador comum é o MMC
MMC(12, 18) = 36
1/12 + 1/18 = 3/36 + 2/36 = 5/36
MDC — simplificar fração
Simplifique 12/18 até a forma irredutível.
Divide numerador e denominador pelo MDC
MDC(12, 18) = 6
12÷6 / 18÷6 = 2/3
Erros que todo mundo comete
Cuidado para não trocar as bolas
⚠️ Trocar MMC por MDC
“Juntar/repetir” pede MMC. “Repartir igualmente” pede MDC. Ler o problema com atenção resolve metade da questão.
⚠️ Expoentes na fatoração
No MDC usa-se o menor expoente dos fatores comuns; no MMC, o maior de todos. Inverter isso troca os resultados.
⚠️ Esquecer fatores só de um
No MMC entram todos os fatores, inclusive os que aparecem em apenas um dos números. Deixá-los de fora dá um MMC pequeno demais.
Próximo passo
Frações
Agora com MDC para simplificar e MMC para somar denominadores diferentes.