Dízimas periódicas
Toda fração vira um decimal que termina ou que repete — e todo decimal que repete volta a ser fração. Isso é o que fecha a definição de número racional.
Fração e dízima são a mesma coisa
Duas escritas para o mesmo número racional
Divida 1 por 3 e a conta não termina: 0,333…Isso não é defeito da divisão — é o que acontece quando o denominador não “cabe” no sistema decimal.
Um número é racional justamente quando pode ser escrito como fração de inteiros. E há um fato que fecha a ideia:
O teorema, em uma frase
Um número é racional se e somente se sua forma decimal termina ou é periódica. Decimal que não repete nem termina — como π — é irracional.
Ou seja: 0,333… e 1/3 não são “quase iguais”. São o mesmo número, escrito de dois jeitos. O simulador vai e volta entre os dois.
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Transforme uma fração em decimal e veja o período aparecer — ou monte uma dízima e recupere a fração que a gerou.
1/7 = 0,142857…
Dízima periódica — o período é "142857" e se repete para sempre.
Por que repete — o resto voltou
Dividindo por 7, só existem 6 restos possíveis diferentes de zero (de 1 a 6). Como a conta não para, algum resto tem de se repetir — e a partir dele os dígitos se repetem na mesma ordem. É por isso que toda fração vira decimal exato ou dízima periódica, nunca aleatória.
Por que toda fração repete (ou termina)
O argumento é curto e definitivo
Ao dividir por 7, os únicos restos possíveis são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Se algum resto for 0, a conta termina. Se não, sobram só seis restos para uma divisão que não acaba.
Logo, em no máximo seis passos algum resto se repete. E resto repetido significa que os próximos dígitos serão os mesmos, na mesma ordem — para sempre. O período nasce daí.
O tamanho do período tem limite
O período de 1/n tem no máximo n − 1 dígitos. Por isso 1/7 tem período de 6, o maior possível — e 1/3 tem período de 1.
Termina ou repete?
Termina
quando o denominador simplificado só tem fatores 2 e 5 — os fatores do 10.
1/8, 3/20, 7/25 → exatos
Repete
quando sobra qualquer outro fator (3, 7, 11…) no denominador.
1/3, 1/6, 1/7 → dízimas
O caminho de volta: a geratriz
De uma dízima periódica de volta à fração que a gerou
A fração geratriz é a fração que produz uma dízima. Há uma regra pronta, mas ela vem de um truque que vale a pena ver — porque explica de onde saem os noves.
achar a geratriz de x = 0,333…
x = 0,333…
10x = 3,333…
10x − x = 3,333… − 0,333…
9x = 3
x = 3/9 = 1/3
Multiplicar por 10 desloca a vírgula por cima de um período. Ao subtrair, as caudas infinitas se cancelam exatamente, e sobra uma conta finita. O 9 no denominador é o 10 − 1 dessa subtração.
A regra rápida
Numerador: o número com o período, menos a parte que não repete.
Denominador: um 9 por dígito do período, seguido de um 0 por dígito antes dele.
0,(45) — período de 2 dígitos, nada antes
45/99 = 5/11
0,1(6) — um dígito antes do período
(16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6
Dízimas que vale a pena reconhecer
Aparecem com frequência — decorar poupa tempo
1/3
0,333…
período: 3
2/3
0,666…
período: 6
1/6
0,1666…
período: 6
1/7
0,142857142857…
período: 142857
1/9
0,111…
período: 1
1/11
0,0909…
período: 09
O caso estranho: 0,999… = 1
Pela geratriz, 0,(9) = 9/9 = 1. Não é “quase 1” nem arredondamento: é igual a 1. Se fossem diferentes, existiria um número entre os dois — e não existe nenhum. É o mesmo motivo pelo qual 0,4999… = 0,5.
Exemplos resolvidos
Os quatro tipos que caem
Periódica simples
Escreva 0,777… como fração.
período de 1 dígito, nada antes
numerador: 7 denominador: 9
7/9 já é irredutível
Periódica composta
Escreva 0,8333… como fração.
parte que não repete: 8 período: 3
numerador: 83 − 8 = 75
denominador: 9 (um dígito no período) e 0 (um antes) → 90
75/90 = 5/6
Com parte inteira
Escreva 2,1666… como fração.
guardo o 2 e trabalho o 0,1666…
(16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6
2 + 1/6 = 12/6 + 1/6 = 13/6
Soma de dízimas
Quanto é 0,333… + 0,666…?
0,333… = 1/3 e 0,666… = 2/3
1/3 + 2/3 = 3/3
confere: 0,333… + 0,666… = 0,999… = 1
Erros que todo mundo comete
Os quatro que mais custam pontos
⚠️ Arredondar em vez de igualar
0,333…não é “aproximadamente 1/3”: é exatamente 1/3. A reticência quer dizer que os 3 nunca acabam.
⚠️ Contar os zeros errado
Em 0,1(6), há um dígito antes do período, então um zero: denominador 90, não 9 nem 900.
⚠️ Achar todo decimal racional
Só termina ou repete. 0,101001000… tem padrão mas não tem período — é irracional, e não tem geratriz.
⚠️ Esquecer de simplificar
A regra dá 15/90, mas a resposta é 1/6. Sempre divida numerador e denominador pelo MDC no fim.
Conexão
Progressões geométricas
0,333… é a soma infinita 0,3 + 0,03 + 0,003 + … — uma PG de razão 1/10. É o mesmo fato, visto pela soma dos infinitos termos.