Progressões (PA e PG)
Sequências que seguem um padrão fixo. Some quando você quer, sem listar termo por termo — e entenda por que os juros compostos são uma PG.
O que é uma progressão?
Uma sequência com uma regra constante
PA — Progressão Aritmética
Cada termo é o anterior + uma razão r (você soma sempre o mesmo valor).
2, 5, 8, 11, 14…
razão r = +3
termo geral: aₙ = a₁ + (n−1)·r
soma: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2
PG — Progressão Geométrica
Cada termo é o anterior × uma razão r (você multiplica sempre pelo mesmo valor).
2, 6, 18, 54, 162…
razão r = ×3
termo geral: aₙ = a₁ · r^(n−1)
soma: Sₙ = a₁·(rⁿ−1)/(r−1)
Explorador de sequências
Alterne entre PA e PG, ajuste o 1º termo, a razão e o número de termos
A sequência
a₁
2
a₂
5
a₃
8
a₄
11
a₅
14
a₆
17
Termo geral (aₙ)
aₙ = a₁ + (n−1)·r
a6 = 17
Soma dos 6 termos (Sₙ)
Sₙ = n·(a₁+aₙ)/2
S6 = 57
Repare
Na PA, os termos crescem em linha reta. Na PG, eles disparam (ou encolhem) rapidamente.
Numa PG com 0 < r < 1, os termos diminuem e a soma se aproxima de um limite.
Por que a soma da PA funciona
O truque que Gauss descobriu ainda criança
Para somar 1 + 2 + 3 + … + 100, Gauss percebeu que emparelhar o primeiro com o último dá sempre o mesmo total:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101 …
são 50 pares de 101 = 5050
É exatamente a fórmula:
Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2
100·(1 + 100)/2 = 5050
E a soma da PG?
A PG tem um truque parecido. Multiplique a soma inteira S por r e subtraia de S: quase todos os termos se cancelam, e sobram só o primeiro e o que passaria do último.
S = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹
r·S = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ
subtraindo, o meio some:
r·S − S = a₁rⁿ − a₁
S·(r − 1) = a₁·(rⁿ − 1)
Isolando S, sai a fórmula:
Sₙ = a₁·(rⁿ − 1)/(r − 1)
o (r − 1) no denominador vem justamente dessa subtração
Exemplos resolvidos
Termo geral e soma na prática
PA — termo geral
Numa PA com a₁ = 4 e r = 5, qual é o 10º termo?
aₙ = a₁ + (n−1)·r
a₁₀ = 4 + (10−1)·5
a₁₀ = 4 + 45
PA — soma
Some os 20 primeiros números pares positivos (2, 4, …, 40).
a₁ = 2 · a₂₀ = 40 · n = 20
S = 20·(2 + 40)/2
S = 20·21
PG — termo geral
Numa PG com a₁ = 3 e r = 2, qual é o 6º termo?
aₙ = a₁ · r^(n−1)
a₆ = 3 · 2⁵
a₆ = 3 · 32
PG — soma
Some os 5 primeiros termos da PG 1, 2, 4, 8, 16.
a₁ = 1 · r = 2 · n = 5
S = 1·(2⁵ − 1)/(2 − 1)
S = (32 − 1)/1
A ponte com os juros
Progressões não são abstração: elas modelam o seu dinheiro
Juros simples = PA
O montante cresce somando sempre o mesmo juro. R$ 1.000 a R$ 100/mês forma a PA 1000, 1100, 1200, 1300…
Juros compostos = PG
O montante é multiplicado por (1 + i) a cada período. Isso é uma PG de razão (1 + i) — por isso a fórmula é M = C·(1+i)ⁿ.
Ver Juros →Erros que todo mundo comete
Confusões frequentes com progressões
⚠️ O (n−1) no termo geral
É (n−1), não n. O 1º termo não recebe razão nenhuma; o 2º recebe uma vez, e assim por diante.
⚠️ Somar em PG como em PA
A soma da PA e a da PG têm fórmulas diferentes. Em PG usa-se rⁿ, não a média dos extremos.
⚠️ Confundir PA e PG
PA você soma a razão; PG você multiplica. Olhe a sequência: os saltos são constantes (PA) ou proporcionais (PG)?
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