Sistemas de Equações
Duas incógnitas, duas equações, uma resposta que satisfaz as duas ao mesmo tempo — o ponto onde as retas se encontram.
O que é um sistema?
Quando uma equação não basta
Um sistema de equações é um conjunto de equações que devem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Com duas incógnitas (x e y), precisamos de duas equações para achar um valor único.
Por quê? Uma equação sozinha como x + y = 5 tem infinitas soluções — (1,4), (2,3), (0,5)… todas cabem. Ela não fixa um par, descreve uma reta inteira de pares possíveis. A segunda equação é o que trava a resposta num único ponto: aquele que satisfaz as duas ao mesmo tempo.
{
x + y = 5
x − y = 1
Geometricamente, cada equação é uma reta. A solução do sistema é o ponto onde as duas retas se cruzam — as coordenadas (x, y) que servem para as duas.
Três cenários possíveis
Retas se cruzam
Uma solução única (o caso normal).
Retas paralelas
Nenhuma solução — nunca se encontram.
Retas coincidentes
Infinitas soluções — são a mesma reta.
Resolva e veja as retas
Edite os coeficientes e observe onde as duas retas se cruzam
Solução (ponto de encontro)
x = 3, y = 2
As duas retas se cruzam em (3, 2).
Dica
Deixe as duas equações com coeficientes proporcionais (ex.: 1,1,5 e 2,2,10) para ver retas coincidentes.
Mude só o termo do lado direito para gerar retas paralelas sem solução.
Método da substituição
Isole uma incógnita e substitua na outra equação
x + y = 5 · x − y = 1
Isole uma incógnita
Da 1ª: x = 5 − y
Substitua na outra
(5 − y) − y = 1
Resolva a equação de 1 incógnita
5 − 2y = 1 → y = 2
Volte para achar a outra
x = 5 − 2 = 3
Solução: x = 3, y = 2
Método da adição (eliminação)
Some as equações para cancelar uma incógnita
Quando os coeficientes de uma incógnita são opostos, somar as equações a elimina:
x + y = 5
+ x − y = 1
2x = 6 → x = 3
Depois, substitua x em qualquer equação: 3 + y = 5 → y = 2.
E quando não são opostos?
Multiplique uma (ou as duas) equações por um número para deixar os coeficientes de uma incógnita iguais e opostos. Depois é só somar.
Um problema do dia a dia
Sistemas resolvem situações com duas incógnitas escondidas
“2 lanches e 1 suco custam R$ 20. 1 lanche e 3 sucos custam R$ 20. Qual o preço de cada um?”
Montando o sistema
lanche = L, suco = S
2L + 1S = 20
1L + 3S = 20
Resolvendo
Da 2ª: L = 20 − 3S
2(20−3S) + S = 20
40 − 5S = 20 → S = 4
L = 20 − 12 = 8
Lanche R$ 8,00 · Suco R$ 4,00
Erros que todo mundo comete
Atenção redobrada com sinais
⚠️ Achar só uma incógnita
O sistema só está resolvido quando você tem x e y. Não pare ao encontrar apenas um dos valores.
⚠️ Sinal ao substituir
Ao substituir (5 − y) dentro de outra expressão, use parênteses. O sinal de menos distribui sobre tudo.
⚠️ Somar sem cancelar
No método da adição, os coeficientes de uma incógnita precisam ser opostos (ex.: +y e −y) para que ela desapareça ao somar.
Próximo passo
Inequações
Quando o = vira < ou > — e a resposta é um intervalo.