Fatoração e produtos notáveis
Transformar uma soma em multiplicação — e vice-versa. É o que permite simplificar frações algébricas, resolver equações e estudar o sinal de uma expressão.
Soma × produto
Duas escritas para a mesma expressão — e cada uma serve para uma coisa
Fatorar é escrever uma expressão como uma multiplicação de partes mais simples. É o caminho inverso de distribuir.
distribuindo →
(x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
← fatorando
Por que se dá tanto trabalho? Porque um produto responde perguntas que uma soma não responde. Se (x − 2)(x − 3) = 0, então um dos fatores é zero — e você lê as raízes direto. Já em x² − 5x + 6 = 0 não há nada para ler.
Para que serve, na prática
- Resolver equações — produto nulo dá as raízes de imediato.
- Simplificar frações algébricas — só dá para cortar fator, nunca parcela.
- Estudar o sinal — o sinal de um produto sai do sinal de cada fator.
- Calcular de cabeça — 98 × 102 = (100−2)(100+2) = 10.000 − 4 = 9.996.
Explore
Expanda um produto notável com números de verdade, ou fatore um trinômio e veja qual técnica se aplica.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Os dois lados, com a = 3 e b = 4
Lado esquerdo
(3 + 4)² = 7² = 49
Lado direito
3² + 2·3·4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49
Os dois lados dão 49 ✓
O erro clássico: distribuir o expoente
3² + 4² = 9 + 16 = 25 ≠ 49
Quem escreve (3 + 4)² = 3² + 4² perde o termo do meio, que vale 2ab = 24. Não é um detalhe: o resultado erra por exatamente esses 24.
Os produtos notáveis
Multiplicações que aparecem tanto que vale a pena reconhecer de imediato
Quadrado da soma
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(x + 3)² = x² + 6x + 9
O 2ab é o termo que todo mundo esquece.
Quadrado da diferença
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(x − 5)² = x² − 10x + 25
O último termo é positivo: (−b)² = +b².
Soma pela diferença
(a + b)(a − b) = a² − b²
(x + 7)(x − 7) = x² − 49
Os termos do meio se cancelam. É a mais usada para fatorar.
Cubo da soma
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8
Menos cobrado, mas cai. Repare nos coeficientes 1, 3, 3, 1.
De onde vem o 2ab
(a + b)² = (a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
Não é uma regra decorada: são os dois produtos cruzados da distributiva, que por acaso são iguais. Quem escreve (a + b)² = a² + b² está simplesmente esquecendo de multiplicar tudo por tudo.
Os cinco casos de fatoração
Na ordem em que você deve testá-los: sempre comece pelo fator comum
Fator comum
Todos os termos têm um fator repetido
Pegue o MDC dos coeficientes (3) e a menor potência da letra (x). Sai tudo em evidência.
Agrupamento
Quatro termos, dois a dois com fator comum
Agrupe: a(x + y) + b(x + y). Agora (x + y) é o fator comum dos dois blocos.
Diferença de quadrados
Dois quadrados subtraídos
Tire a raiz de cada termo e escreva soma vezes diferença. Só funciona com o sinal de menos.
Trinômio quadrado perfeito
Dois quadrados e o dobro do produto no meio
Confira: √x² = x, √16 = 4, e 2·x·4 = 8x bate com o termo do meio. Se não bater, não é.
Trinômio do 2º grau
Qualquer ax² + bx + c com Δ ≥ 0
Ache as raízes (soma e produto, ou Bhaskara) e escreva a(x − x₁)(x − x₂).
A ordem importa
Coloque o fator comum em evidência antes de qualquer outra coisa. Em 2x² − 18, quem vai direto para a diferença de quadrados trava, porque 2x² não é quadrado perfeito. Tirando o 2 primeiro: 2(x² − 9) = 2(x + 3)(x − 3).
Exemplos resolvidos
Cada um usa a fatoração para chegar em algo que a soma não daria
Resolvendo pelo produto nulo
Resolva x² − 7x + 12 = 0 sem usar Bhaskara.
Procuro dois números que somem 7 e multipliquem 12
3 e 4 servem: 3 + 4 = 7 e 3 × 4 = 12
x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4)
(x − 3)(x − 4) = 0 → x − 3 = 0 ou x − 4 = 0
Simplificando uma fração algébrica
Simplifique (x² − 9) / (x² + 6x + 9).
Em cima: diferença de quadrados → (x + 3)(x − 3)
Embaixo: trinômio quadrado perfeito → (x + 3)²
(x + 3)(x − 3) / (x + 3)(x + 3)
Corto o fator (x + 3) comum aos dois
Conta de cabeça
Quanto é 47 × 53?
Repare que 47 = 50 − 3 e 53 = 50 + 3
(50 − 3)(50 + 3) = 50² − 3²
= 2500 − 9
Fatorando por agrupamento
Fatore x³ + 2x² + 5x + 10.
Agrupo dois a dois: (x³ + 2x²) + (5x + 10)
x² sai do 1º bloco, 5 sai do 2º: x²(x + 2) + 5(x + 2)
Agora (x + 2) é comum aos dois blocos
Erros que todo mundo comete
Os quatro que mais custam pontos
⚠️ Distribuir o expoente
(a + b)² ≠ a² + b². Falta o 2ab. Teste com números: (3 + 4)² = 49, mas 3² + 4² = 25.
⚠️ Cortar parcela em fração
Em (x + 3)/3 não dá para cortar o 3: ele é parcela em cima e fator embaixo. Só se corta o que multiplica a expressão inteira.
⚠️ Soma de quadrados
x² + 9 não fatora nos reais. A diferença de quadrados exige o sinal de menos — x² − 9 fatora, a soma não.
⚠️ Trinômio que só parece perfeito
x² + 5x + 4 tem dois quadrados nas pontas, mas 2·x·2 = 4x ≠ 5x. Não é quadrado perfeito — é (x + 1)(x + 4). Sempre confira o termo do meio.
Próximo passo
Equações do 2º Grau
Agora com a fatoração na mão: Bhaskara, discriminante e a forma fatorada a(x − x₁)(x − x₂).