Equações do 2º Grau
Quando aparece o x², a reta vira parábola. Fórmula de Bhaskara, discriminante e a leitura gráfica das raízes.
A forma geral
O que caracteriza uma equação do 2º grau
Uma equação do 2º grau (ou quadrática) tem a incógnita elevada ao quadrado. A forma geral é ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0.
Os coeficientes:
a — acompanha o x² (define a abertura da parábola)
b — acompanha o x
c — termo independente (onde a parábola corta o eixo y)
Concavidade
Se a > 0, a parábola abre para cima (tem ponto de mínimo). Se a < 0, abre para baixo (ponto de máximo).
A fórmula de Bhaskara
x = (−b ± √Δ) / 2a
Δ = b² − 4ac
O Δ (delta, ou discriminante) decide quantas soluções existem antes mesmo de terminar a conta. O sinal ± gera as duas raízes.
O discriminante decide tudo
O sinal de Δ diz quantas vezes a parábola toca o eixo x
Δ > 0
Duas raízes reais
A parábola cruza o eixo x em dois pontos.
Δ = 0
Uma raiz (dupla)
A parábola toca o eixo x em um único ponto (o vértice).
Δ < 0
Nenhuma raiz real
A parábola não cruza o eixo x.
Resolvedor com gráfico
Ajuste a, b, c e veja a parábola, o discriminante e as raízes ao vivo
1x² − 3x − 4 = 0
Discriminante
Δ = b² − 4ac = (-3)² − 4·(1)·(-4) = 25
Δ > 0 → duas raízes reais distintas
Raízes (Bhaskara)
x = 4 · x = -1
x = (−(-3) ± √25) ÷ (2·1)
Lendo o gráfico
As raízes são onde a parábola corta o eixo x (y = 0).
O vértice é o ponto de mínimo ou máximo, em x = −b/2a.
Experimente deixar Δ < 0: a curva fica inteira de um lado do eixo x sem tocá-lo — acima, se a > 0; abaixo, se a < 0.
Exemplos resolvidos
Bhaskara passo a passo
Duas raízes
Resolva x² − 5x + 6 = 0
a=1, b=−5, c=6
Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1
x = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2
Raiz dupla
Resolva x² − 4x + 4 = 0
a=1, b=−4, c=4
Δ = 16 − 16 = 0
x = 4 / 2
Equação incompleta (c = 0)
Resolva x² − 9x = 0
Coloco x em evidência (fator comum): x(x − 9) = 0
x = 0 ou x − 9 = 0
Equação incompleta (b = 0)
Resolva x² − 16 = 0
x² = 16
x = ± √16
Atalho: soma e produto
Para raízes inteiras, muitas vezes nem precisa de Bhaskara
Nas raízes de ax² + bx + c = 0, valem:
soma: x₁ + x₂ = −b/a
produto: x₁ · x₂ = c/a
Basta procurar dois números cuja soma e produto batam com os valores. Rápido para equações simples.
Exemplo: x² − 5x + 6 = 0
soma = 5 · produto = 6
Dois números: 2 e 3 (2+3=5, 2·3=6)
→ raízes 2 e 3
Erros que todo mundo comete
As pegadinhas de Bhaskara
⚠️ Sinal do b na fórmula
A fórmula começa com −b. Se b já é negativo, −(−5) = +5. Cuidado com o sinal duplo.
⚠️ (−b)² vs −b²
No Δ, é b²: sempre positivo. (−5)² = 25, não −25.
⚠️ Dividir tudo por 2a
O 2a divide a expressão inteira (−b ± √Δ), não só a raiz. Use parênteses para não errar.
Próximo passo
Sistemas de Equações
Duas incógnitas, duas equações — resolvidas juntas.