Estudo de sinal
Onde uma expressão é positiva e onde é negativa. É o que resolve inequações com produto, quociente e 2º grau — e é por isso que se fatora antes.
Por que fatorar vem antes
O sinal de um produto se lê fator por fator — o de uma soma, não
Olhe para x² − 2x − 3 e diga onde ela é positiva. Não dá — é uma soma, e somas não têm regra de sinal.
Agora fatore: (x + 1)(x − 3). De repente dá, porque produto tem regra de sinal: dois fatores de mesmo sinal dão positivo, de sinais opostos dão negativo.
O método, em três passos
- Zere cada fator — esses são os pontos críticos.
- Marque os sinais de cada fator em cada intervalo entre eles.
- Multiplique os sinais coluna por coluna e leia onde bate com o que você quer.
Um fator de 1º grau só troca de sinal ao passar pela sua raiz. Antes dela tem um sinal, depois tem o outro — e é só isso que você precisa saber para preencher o quadro.
⚠️ Nunca multiplique cruzado numa inequação
Em (x + 2)/(x − 1) > 0, passar o (x − 1) multiplicando é erro: você não sabe o sinal dele, e multiplicar por negativo invertea desigualdade. Por isso se faz o quadro de sinais em vez de “passar para o outro lado”.
Monte o quadro
Escolha as raízes, o sinal do coeficiente e o que você quer. O quadro e o conjunto solução saem sozinhos.
Coeficiente na frente
Quero onde a expressão é
(x + 1)(x − 3) > 0
| fator | x < −1 | −1 < x < 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|
| (x + 1) | − | + | + |
| (x − 3) | − | − | + |
| resultado | + | − | + |
Cada coluna é um intervalo. O sinal do resultado é o produto dos sinais da coluna — os intervalos apagados são os que não servem.
Conjunto solução
]−∞, −1[ ∪ ]3, +∞[
As três regras que decidem tudo
Depois delas, é só preencher o quadro
1. Fator de 1º grau
(x − r) é negativo antes de r e positivo depois. Se o coeficiente de x for negativo, inverte.
x − 3: − até 3, + a partir de 3
2. Raiz dupla não troca
Se o fator aparece ao quadrado, a expressão encosta no zero e volta com o mesmo sinal. O quadro não muda de coluna ali.
(x − 2)²: + de um lado e do outro
3. Denominador nunca entra
A raiz do denominador é sempre bola aberta, mesmo com ≥ ou ≤: ali a expressão não existe.
.../(x − 1): x = 1 fora, sempre
Inequação do 2º grau
Dá para resolver pelo quadro — ou olhando a parábola
Pela parábola, sem quadro
Com a > 0, a parábola abre para cima: fica negativa entre as raízes e positiva fora delas. Com a < 0, é o contrário.
É a mesma informação do quadro de sinais, lida de outro jeito. Use a que for mais rápida na hora da prova.
x² − 2x − 3 < 0, dos dois jeitos
pelo quadro
fatoro: (x + 1)(x − 3) < 0
pontos críticos: −1 e 3
x < −1: (−)(−) = +
−1 < x < 3: (+)(−) = − ✓
x > 3: (+)(+) = +
pela parábola
a = 1 > 0, raízes −1 e 3
abre para cima → negativa entre as raízes
S = ]−1, 3[
Exemplos resolvidos
Produto, quociente, raiz dupla e o caso sem solução
Inequação-produto
Resolva (x + 2)(x − 5) ≥ 0.
Pontos críticos: x = −2 e x = 5
x < −2: (−)(−) = + ✓
−2 < x < 5: (+)(−) = −
x > 5: (+)(+) = + ✓
≥ inclui as raízes: bola fechada nas duas
Inequação-quociente
Resolva (x + 1)/(x − 2) < 0.
Pontos críticos: x = −1 (numerador) e x = 2 (denominador)
x < −1: (−)/(−) = +
−1 < x < 2: (+)/(−) = − ✓
x > 2: (+)/(+) = +
x = 2 fica fora: zera o denominador
Raiz dupla
Resolva (x − 4)² > 0.
Único ponto crítico: x = 4
O fator está ao quadrado, então nunca é negativo
É positivo em toda parte, menos em x = 4, onde vale 0
Como quero > 0 (estrito), tiro o 4
Quando não há solução
Resolva x² + 1 < 0.
Δ = 0² − 4·1·1 = −4 < 0: não há raízes reais
a = 1 > 0 e a parábola não cruza o eixo
Logo x² + 1 é positiva para todo x real
Erros que todo mundo comete
Os quatro que mais custam pontos
⚠️ Incluir a raiz do denominador
Em (x−1)/(x−2) ≥ 0, o 1 entra (bola fechada) mas o 2 não, mesmo com o ≥. Divisão por zero não existe.
⚠️ Passar o denominador multiplicando
Só se pode multiplicar os dois lados por algo de sinal conhecido. Uma expressão com x pode ser positiva ou negativa — e no caso negativo o sinal da desigualdade vira.
⚠️ Trocar o sinal na raiz dupla
Quem alterna + − + − mecanicamente erra em (x−1)(x−2)². Na raiz 2 o sinal não muda, porque o fator é par.
⚠️ Esquecer a união
Quando dois intervalos separados servem, a resposta é a união deles — não um intervalo só. Escrever −2 > x > 5 não quer dizer nada.
Próximo passo
Progressões (PA e PG)
Sequências com padrão — a ponte da álgebra para os juros compostos.